Методы расчёта
Расчёт радиуса нулевой моды резонатора (TEM00, низшей, гауссовой моды) ведется известным методом лучевых матриц ABCD. Кратко сущность метода заключается в следующем. Каждому оптическому элементу резонатора и промежуткам свободного пространства в нём ставится в соответствие квадратная матрица 2х2. Примеры матриц приведены ниже в таблице.Оптический элемент | Матрица |
Зеркало с радиусом кривизны R | ![]() |
Тонкая линза c фокусным расстоянием f | ![]() |
Промежуток среды с показателем преломления n и протяжённостью L | ![]() |
Общий вид матрицы ABCD | ![]() |
Матрица позволяет выразить параметры луча (положение луча относительно оптической оси и угол наклона луча к последней) на выходе оптического элемента через параметры луча на входе. Если надо найти выходной луч по входному для многоэлементной системы, то нужно перемножить матрицы элементов от выхода к входу оптической системы.
Радиус кривизны сферического пучка подчиняется закону ABCD:
(R1 и R2 – радиус кривизна входного и выходного пучка, соответ.).
Этому же закону подчиняется и так называемый комплексный параметр гауссова пучка, что позволяет рассчитывать параметры гауссова пучка матричным методом.
Радиус нулевой моды по уровню 1/e амплитуды напряженности электрического поля (т.е. по уровню 1/e2 максимальной интенсивности) в какой-либо опорной плоскости определяется через элементы матрицы ABCD, записанной для полного обхода резонатора относительно этой плоскости, формулой:
(λ - длина волны излучения).
Резонатор устойчив, если полуслед матрицы
полного обхода (A+D)/2 лежит в
диапазоне от -1 до 1 (исключая границы).
Более детальную информацию по методу можно получить в литературе по лазерной технике.
При расчёте расходимости пучка в программе принимается, что выходное зеркало (если не плоское) имеет компенсирующую сферическую составляющую расходимости подложку, т.е. перетяжка пучка находится непосредственно за выходным зеркалом. При этом расходимость моды TEM00 (по уровню 1/e2 интенсивности) выражается формулой:
(ωвых – радиус моды TEM00 на выходном зеркале).
При расчёте пучка в целом (с высшими модами) полагается, что он занимает всю апертуру линзы(1), а апертура зеркал заведомо превышает размер поля на них. При этом в любом поперечном сечении пучка его размер равен размеру моды TEM00 в этом сечении, умноженному на коэффициент многомодовости. Коэфф. многомодовости вычисляется как отношение радиуса линзы к радиусу моды TEM00 в ней. Расходимость всего пучка считается равной расходимости моды TEM00, умноженной на коэфф. многомодовости.
(1) В типичных случаях реальных
резонаторов линза термически
наводится в
активном элементе и ей можно приписать диаметр, соответствующий области
генерации в элементе. Но влияние элемента на резонатор этим не
исчерпывается. О реальных резонаторах более подробно будет сказано в
следующем разделе.
Предполагается, что радиус всего пучка не меньше радиуса моды TEM00.
Фокусировка мощности (геометрическая) определяется как обратный квадрат отношения радиуса поля в расчетном поперечном сечении резонатора к радиусу поля в линзе.
Апертурные потери в линзе для мод Эрмита-Гаусса рассчитываются для полного обхода резонатора. Пропускание линзы в каждом направлении вдоль оптической оси резонатора находится как доля энергии моды, локализованная внутри апертуры линзы, от полной энергии. Для первых шести мод (00…22) пропускание линзы определяется выражениями (получены автором программы; проверьте):
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
(R – радиус линзы, ω – радиус нулевой моды в линзе).
Апертурные потери моды mn таким образом (в процентах):
Надо заметить, что метод расчёта высших мод весьма приближенный. Поэтому результаты расчёта высших мод следует считать лишь оценочными.
С ростом апертурных потерь возрастает роль апертурных эффектов и в этом случае надо использовать более точные дифракционные методы расчёта. Тем не менее, даже в этом случае расчёт апертурных потерь полезен, т.к. позволяет оценить "шансы на выживание" конкретных мод.
Также надо отметить, что в расчётах используется параксиальное приближение, поэтому результаты применимы только для параксиальных пучков, с не слишком большой расходимостью. Автору программы встречалась такая оценка: для максимальных углов лучей к оптической оси, не превышающих 100 мрад (примерно 60), погрешность вычислений в параксиальном приближении оказывается менее 1%.